华为 OD 训练营 · 题解精讲
LC121. 买卖股票的最佳时机
LC121. 买卖股票的最佳时机
题目描述
给定一个数组 prices ，它的第 i 个元素 prices[i] 表示一支给定股票第 i 天的价格。 你只能选择 某一天 买入这只股票，并选择在 未来的某一个不同的日子 卖出该股票。设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。 返回你可以从这笔交易中获取的最大利润。如果你不能获取任何利润，返回 0 。 示例 1： 输入：[7,1,5,3,6,4] 输出：5 解释：在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出，最大利润 = 6-1 = 5 。 注意利润不能是 7-1 = 6, 因为卖出价格需要大于买入价格；同时，你不能在买入前卖出股票。 示例 2： 输入：prices = [7,6,4,3,1] 输出：0 解释：在这种情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。 提示： 1 <= prices.length <= 10(5) 0 <= prices[i] <= 10(4)
题目解析
解题思路
本题要求一次买入一次卖出的最大利润，本质是求数组中后减前的最大差值。参考代码采用三维动态规划，状态定义为 dp[i][k][b]，其中 i 表示天数，k 表示最多交易次数（本题 k=1），b 表示是否持有股票（0 不持有，1 持有）。通过遍历每一天，根据前一天的状态递推当前状态，最终答案为最后一天不持有股票时的最大利润。
关键步骤
1. 初始化：第 0 天，不持有股票且最多交易 0 次或 1 次时利润均为 0；持有股票（即买入）时利润为 -prices[0]。
2. 状态转移（从第 1 天开始）：
- 今天不持有股票：要么昨天就不持有且今天不操作，要么昨天持有且今天卖出。
dp[i][1][0] = max(dp[i-1][1][0], dp[i-1][1][1] + prices[i])- 今天持有股票：要么昨天就持有且今天不操作，要么昨天不持有且今天买入（注意买入时用
dp[i-1][0][0]，即之前未进行过交易）。
dp[i][1][1] = max(dp[i-1][1][1], dp[i-1][0][0] - prices[i])3. 返回结果：dp[length-1][1][0] 表示最后一天不持有股票且最多交易一次的最大利润。
复杂度分析
- 时间复杂度：O(n)，只需遍历一次数组，每次进行常数次操作。
- 空间复杂度：O(n)，使用了长度为 n 的三维数组。可优化为 O(1)，但参考代码未做此优化。
参考代码
class Solution:
def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
# 先获取数组的长度
length = len(prices)
# 设置一个三维数组 dp
# dp[i][k][b]
# i 表示天数，dp[i] 表示第 i 天的最大利润
# k 表示最多交易次数，每次交易包含买入和卖出，这里只在买入的时候将 k - 1
# 注意：【 k 表示最多交易次数，而不是实际交易次数，比如最多交易两次可能实际只交易一次】
# b 表示当前是否持有股票，取值为 0 和 1
# 其中 0 表示当前持有 0 份股票，即【不持有】股票
# 而 1 表示当前持有 1 份股票，即【持有】股票
# 在本题中，k 的值为 1，i 的取值范围为数组 prices 的长度，从 0 开始
# 越在前面的维度，总体上是越出现在后面
dp = [[[0] * 2 for _ in range(2)] for _ in range(length)]
# dp[0][0][0] 表示在第 0 天结束时，即收盘后，手上持有 0 份股票，且此时最多进行了 0 次交易的情况下可以获得的最大收益
# 此时，就是什么都没做，利润为 0
dp[0][0][0] = 0
# dp[0][1][0] 表示在第 0 天结束时，即收盘后，手上持有 0 份股票，且此时最多进行了 1 次交易的情况下可以获得的最大收益
# 此时，就是什么都没做，利润为 0
dp[0][1][0] = 0
# dp[0][1][1] 表示在第 0 天结束时，即收盘后，手上持有 1 份股票，且此时最多进行了 1 次交易的情况下可以获得的最大收益
# 手上持有了 1 份股票，那肯定是执行了买入操作，然后又还没有卖出，那么钱都投入了股票中，利润就是负的，即为 -prices[0]
dp[0][1][1] = -prices[0]
# 动态规划：自底向上，即从前向后遍历，实现一个萝卜一个坑
for i in range( 1 ,length) :
# 对于每个坑来说，都有两种状态
# 今天也就是第 i 天
# 1、今天【不持有】股票
# 第 i - 1 天【持有】股票，第 i 天卖出
# 昨天【持有】股票，今天卖出
# vs
# 第 i - 1 天【不持有】股票，第 i 天不操作
# 昨天【不持有】股票，今天不操作
dp[i][1][0] = max( dp[i - 1][1][0] , dp[i - 1][1][1] + prices[i] )
# 2、今天【持有】股票
# 第 i - 1 天【持有】股票，第 i 天不操作
# 昨天【持有】股票，今天不操作
# vs
# 第 i - 1 天【不持有】股票，第 i 天买入
# 昨天【不持有】股票，今天买入
dp[i][1][1] = max( dp[i - 1][1][1] , dp[i - 1][0][0] - prices[i] )
# for 循环结束后，dp 数组填充完毕
# dp[length - 1][1][0]
# 表示第 length - 1 天结束时，即收盘后，手上持有 0 份股票，且此时最多进行了 1 次交易的情况下可以获得的最大收益
return dp[length - 1][1][0]