华为 OD 训练营 · 题解精讲
LC309. 最佳买卖股票时机含冷冻期
LC309. 最佳买卖股票时机含冷冻期
题目描述
给定一个整数数组，其中第 i 个元素代表了第 i 天的股票价格 。 设计一个算法计算出最大利润。在满足以下约束条件下，你可以尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票）: 你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。 卖出股票后，你无法在第二天买入股票 (即冷冻期为 1 天)。 示例: 输入: [1,2,3,0,2] 输出: 3 解释: 对应的交易状态为: [买入, 卖出, 冷冻期, 买入, 卖出]
题目解析
解题思路
本题是带冷冻期的股票交易问题，冷冻期限制卖出后第二天不能买入。参考代码采用动态规划，用二维数组 dp[i][b] 表示第 i 天结束时的最大利润，其中 b=0 表示不持有股票，b=1 表示持有股票。由于交易次数不限（k 为正无穷），状态转移只需考虑持仓状态和冷冻期约束。
关键步骤
1. 初始化：第 0 天，dp[0][0] = 0（不持仓，利润 0），dp[0][1] = -prices[0]（买入，利润为负）。
2. 状态转移（从第 1 天开始遍历）：
- 今天不持有：可能来自昨天不持有（今天无操作），或昨天持有今天卖出。公式：
dp[i][0] = max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] + prices[i])- 今天持有：可能来自昨天持有（今天无操作），或昨天不持有今天买入。但买入受冷冻期限制：若昨天刚卖出（即昨天不持有），则今天不能买入。因此今天买入只能来自前天不持有（即前天及之前已卖出，昨天是冷冻期或未操作）。公式：
dp[i][1] = max(dp[i-1][1], (dp[i-2][0] if i>=2 else 0) - prices[i])其中 dp[i-2][0] 表示前天不持有的最大利润，i<2 时前天利润为 0。
3. 结果：最后一天不持有股票时的利润 dp[length-1][0]。
复杂度分析
- 时间复杂度：O(n)，只需一次遍历数组。
- 空间复杂度：O(n)，使用长度为 n 的二维数组。可优化为 O(1) 用三个变量记录前两天的状态，但参考代码未做此优化。
参考代码
class Solution:
def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
# 先获取数组的长度
length = len(prices)
# 设置一个三维数组 dp
# dp[i][k][b]
# i 表示天数，dp[i] 表示第 i 天的最大利润
# k 表示最多交易次数，每次交易包含买入和卖出，这里只在买入的时候将 k - 1
# 注意：【 k 表示最多交易次数，而不是实际交易次数，比如最多交易两次可能实际只交易一次】
# b 表示当前是否持有股票，取值为 0 和 1
# 其中 0 表示当前持有 0 份股票，即【不持有】股票
# 而 1 表示当前持有 1 份股票，即【持有】股票
# 在本题中，k 的值为正无穷，i 的取值范围为数组 prices 的长度，从 0 开始
dp = [[0] * 2 for _ in range(length)]
# dp[0][0][0] 表示在第 0 天结束时，即收盘后，手上持有 0 份股票，且此时最多进行了 0 次交易的情况下可以获得的最大收益
# 此时，就是什么都没做，利润为 0
dp[0][0] = 0
# dp[0][k][0] 表示在第 0 天结束时，即收盘后，手上持有 0 份股票，且此时最多进行了 k 次交易的情况下可以获得的最大收益
# 此时，就是什么都没做，利润为 0
dp[0][0] = 0
# dp[0][k][1] 表示在第 0 天结束时，即收盘后，手上持有 1 份股票，且此时最多进行了 k 次交易的情况下可以获得的最大收益
# 手上持有了 1 份股票，那肯定是执行了买入操作，然后又还没有卖出，那么钱都投入了股票中，利润就是负的，即为 -prices[0]
dp[0][1] = -prices[0]
# 动态规划：自底向上，即从前向后遍历，实现一个萝卜一个坑
for i in range( 1 ,length) :
# 对于每个坑来说，都有两种状态
# 今天也就是第 i 天
# 1、今天【不持有】股票
# 第 i - 1 天【持有】股票，第 i 天卖出
# 昨天【持有】股票，今天卖出
# vs
# 第 i - 1 天【不持有】股票，第 i 天不操作
# 昨天【不持有】股票，今天不操作
dp[i][0] = max( dp[i - 1][0] , dp[i - 1][1] + prices[i] )
# 2、今天【持有】股票
# 第 i - 1 天【持有】股票，第 i 天不操作
# 昨天【持有】股票，今天不操作
# vs
# 第 i - 1 天【不持有】股票，第 i 天买入
# 昨天【不持有】股票，今天买入
dp[i][1] = max( dp[i - 1][1] , (dp[i - 2][0] if i >= 2 else 0 ) - prices[i] )
# for 循环结束后，dp 数组填充完毕
# dp[length - 1][k][0]
# 表示第 length - 1 天结束时，即收盘后，手上持有 0 份股票，且此时最多进行了 k 次交易的情况下可以获得的最大收益
return dp[length - 1][0]