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LC322. 零钱兑换
LC322. 零钱兑换
题目描述
给你一个整数数组 coins ，表示不同面额的硬币；以及一个整数 amount ，表示总金额。 计算并返回可以凑成总金额所需的 最少的硬币个数 。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1 。 你可以认为每种硬币的数量是无限的。 示例 1： 输入：coins = [1, 2, 5], amount = 11 输出：3 解释：11 = 5 + 5 + 1
题目解析
解题思路
本题是完全背包求最小硬币数问题。参考代码采用二维动态规划，定义 dp[i][j] 表示使用前 i 种硬币（即 coins[0..i-1]）凑出金额 j 所需的最少硬币数。初始化时将所有状态设为 amount+1（一个不可能的大值，用于表示不可达），仅 dp[0][0]=0。
状态转移时，对于第 i 种硬币（面额 coins[i-1]）：
- 若当前金额
j < coins[i-1]，则无法使用该硬币，直接继承dp[i-1][j]； - 否则，可以选择不拿（继承
dp[i-1][j]）或拿一枚（由于硬币无限，拿一枚后仍可继续拿同种，因此从dp[i][j-coins[i-1]]转移并加 1），取两者最小值。
最终检查 dp[n][amount] 是否仍为初始值，若是则返回 -1，否则返回该值。
关键步骤
1. 初始化：dp 大小为 (n+1) × (amount+1)，全部填充 amount+1，仅 dp[0][0]=0。 2. 双重循环：外层遍历硬币种类 i，内层遍历金额 j。 3. 转移方程：
if j < coins[i-1]:
dp[i][j] = dp[i-1][j]
else:
dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-coins[i-1]] + 1)4. 结果判断：若 dp[n][amount] == amount+1 说明无法凑出，返回 -1。
复杂度分析
- 时间复杂度：
O(n × amount)，两层循环。 - 空间复杂度：
O(n × amount)，二维数组存储。可优化为一维数组，但参考代码未做此优化。
参考代码
class Solution:
def coinChange(self, coins: List[int], amount: int) -> int:
n = len(coins)
# 二维数组：状态定义:dp[i][j]表示从前 i 个物品中选择不超过 j 重量的物品的最大价值
dp = [[amount + 1] * (amount + 1) for _ in range(n + 1)]
dp[0][0] = 0
# Tips：前 i 个物品表示的是编号从 [ 0 , i - 1] 这些物品，即最后一个物品编号为 i - 1
for i in range(1, n + 1):
for j in range(amount + 1):
# 背包容量小于当前物品的容量，即背包容量已经不足以拿第 i 个物品了
# 第 i 个物品即下标为 i - 1 的那个物品
if j < coins[i - 1]:
dp[i][j] = dp[i - 1][j]
# 背包容量足够拿第 i 个物品，那么可拿也可不拿
# 1、拿了，那么最大价值是前 i 个物品扣除第 i 个物品的重量的情况下的最大价值，再加上【第 i 个】物品的价值
# 2、不拿，那么就是从前 i - 1 个物品中选择出的最大价值
else:
dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], dp[i][j - coins[i - 1]] + 1)
return -1 if dp[n][amount] == amount + 1 else dp[n][amount]